Un modèle didactique de référence pour la construction des savoirs et l’actualisation des connaissances sur la notion de limite au Mali.

Abstract

Estamos interessados no estudo do conceito de limite de função, mais particularmente nos aspectos epistemológicos e didáticos desse conceito matemático. O objetivo de nosso estudo é ajudar futuros professores, participantes de nosso projeto de pesquisa, a construir situações de ensino que lhes permitissem atribuir um significado matemático à noção de limite de uma função numérica de uma variável real em um ponto e usá-la para mostrar que um dado real é o limite de uma função em um determinado ponto. Nossa pesquisa é qualitativa e enquadra-se no campo da Didática da Matemática, tendo como referenciais teóricos a teoria das situações didáticas, a teoria antropológica do didático, a teoria dos campos conceituais e a teoria dos registros de representação semiótica. Propomos mais especificamente responder às seguintes perguntas: Quais saberes / conhecimentos sobre o conceito de limite são construídos por alunos, durante as articulações e interações, no caso de um Modelo Epistemológico Alternativo de Referência construído apoiando-se nas dimensões epistemológicas, ecológicas e econômico-institucionais do objeto matemático em estudo? Para responder à esta questão, tecemos as seguintes questões intermediarias: Este modelo reduz a distância entre o conhecimento acadêmico e o conhecimento ensinado? Permite que a definição formal de limite funcione? Existe uma confusão entre calcular o limite em um ponto e estudar a continuidade nesse ponto? Como fazer evoluir a noção de limite no sistema educacional do Mali? E por quais razões? Qual entendimento os alunos e professores têm atualmente da definição do limite? Quais conhecimentos são necessários para entender a definição formal do limite? Quais são as diferentes técnicas usadas? Qual é a importância de levar em consideração o domínio de definição no calcule do limite? Em quais níveis educacionais a definição formalizada deve aparecer? Qual é a importância da definição formal? A análise da revisão da literatura mostra que é a definição intuitiva que surge e impede o entendimento da definição formal. Os professores que foram sujeitos de nossa pesquisa têm uma concepção dinâmica do limite, e nossos resultados mostram que é necessário incluir a história da matemática no currículo dos futuros professores, que a definição formal do conceito de limite não é inacessível para os alunos. Sua manipulação permite que os alunos atualizem muitos conhecimentos relacionados a ele, como a noção de intervalo, as desigualdades com valor absoluto, a distância, a composição, a decomposição de função, de ordem em ℝ etc. A definição formal permite corrigir obstáculos como “o limite atingido ou não”, a ausência dos quantificadores, a confusão entre o limite e a continuidade, a consideração do domínio de definição no cálculo do limite, marca a passagem da álgebra para a análise.

ABSTRACT We are interested in the study of the concept of function limit, more particularly in the epistemological and didactic aspects of this mathematical concept. The object of our study is to help future teachers, participating in our research project, to build teaching situations allowing students to give a mathematical meaning to the notion of limit of a numerical function of a real variable at a point and to use it to show that a given real is the limit of a function at a given point. Our research is qualitative, and it is aimed didactically, it fits into the field of Mathematics Didactics with as theoretical frameworks the theory of didactic situations, the anthropological theory of didactic, the theory of conceptual fields and the theory of registers of semiotic representation. We propose more specifically to answer the following questions: What knowing / knowledge on the concept of limit, are built by the students, during the articulations and interactions, in the case of an Alternative Epistemological Model of Reference built by leaning on the epistemological, ecological and economic-institutional dimensions of the mathematical object under study? And sub-questions such as: Does this model reduce the gap between scholarly knowledge and academic knowledge? Does it allow the formalized definition to work? Is there not a confusion between calculating the limit at a point and studying continuity at this point? How has the notion of limit evolved in the Malian education system? And why? What understanding do students and future teachers currently have of defining the limit? What knowledge is needed to understand the formal definition of the limit? What are the different techniques used? How important is it to take the domain of definition into account when calculating the limit? At what educational levels should the formalized definition appear? How important is the formal definition? Analysis of the literature review shows that it is the intuitive definition that emerges and stands in the way of understanding the precise formal definition. The teachers who were the subject of our survey have a dynamic conception of the limit, and our results show that it is necessary to include the history of mathematics in the curriculum of future teachers, that the formalized definition of the limit is not inaccessible to students. Its manipulation allows students to update a lot of knowledge related to it such as the notion of interval, inequalities with absolute value, distance, composition, decomposition of function order in ℝ etc. The precise formal definition makes it possible to correct obstacles such as the limit reached or not, the erasure of the quantifiers, the confusion between the limit and the continuity, the taking into account of the domain of definition in the calculation of the limit, it marks the passage from algebra to analysis.

RÉSUMÉ Nous nous intéressons à l´étude du concept de limite de fonction, plus particulièrement aux aspects épistémologique et didactique de ce concept mathématique. L´objet de notre étude est d’aider les futurs enseignants, participant de notre projet de recherche, à construire des situations d’enseignements permettant aux élèves de donner un sens mathématique à la notion de limite d’une fonction numérique d’une variable réelle en un point et de l’utiliser pour montrer qu’un réel donné est la limite d’une fonction en un point donné. Notre recherche est qualitative et elle est à visé didactique, elle s’insère dans le domaine de la Didactique des Mathématiques avec comme cadres théoriques principales la Théorie des Situations Didactiques et la Théorie Anthropologique du Didactique. Dans un premier temps, nous faisons une enquête épistémologique exploratoire au près des enseignant du Lycée et des futurs enseignants, pour analyser leur conception et en suite nous élaborons une situation expérimentale que nous appliquons aux élèves de la terminale sciences exactes, pour mettre en évidence les savoirs et connaissances construites sur la notion de limite. Nous nous proposons plus spécifiquement de répondre aux questions suivantes : Quels savoirs/connaissances sur le concept de limite, sont construits par les élèves, durant les articulations et interactions des cafres algébrique, géométrique et analytique, et les registres de représentation sémiotique dans le cas d’un Modèle Épistémologiques Alternatif de Reference construit en s’appuyant sur les dimensions épistémologiques, écologique et économicoinstitutionnel de l’objet mathématique en étude ? Et des sous questions telles que : Ce modèle permet-il de réduire l’écart entre le savoir savant et le savoir enseigné ? Permet-il de faire fonctionner la définition formalisée ? N’y-a-t-il pas une confusion entre calculer la limite en un point et étudier la continuité en ce point ? Comment la notion de limite a-t-elle évoluée dans le système éducatif malien? Et pour quelles raisons ? Quelle compréhension les élèves et enseignants ont-ils actuellement de la définition de la limite ? Quelles sont les connaissances nécessaires pour comprendre la définition formelle de la limite ? Quels sont les différentes techniques utilisées? Quelle est l’importance de la prise en compte du domaine de définition dans le calcul de la limite? À quels niveaux d’enseignement la définition formalisée doit-elle faire son apparition ? Quelle est l’importance de la définition formelle ? L´analyse de la revue de la littérature montre que c’est la définition intuitive qui émerge et s’érige en obstacle pour la compréhension de la définition formelle précise. Les enseignants qui ont fait l’objet de notre enquête ont une conception dynamique de la limite, et nos résultats montrent qu´il est nécessaire d’inclure l’histoire des mathématiques dans le cursus des futurs professeurs, que la définition formalisée de la limite n’est pas inaccessible aux élèves. Sa manipulation permet aux élèves de mettre à jour beaucoup de connaissances qui lui sont connexes telles que la notion d’intervalle, inéquations avec valeur absolue, distance, composition, décomposition de fonction ordre dans ℝ etc. La définition formelle précise permet de corriger des obstacles tels que la limite atteinte ou non, l’effacement des quantificateurs, la confusion entre la limite et la continuité, la prise en compte de l’ensemble de définition dans le calcul de la limite, elle marque le passage de l’algèbre à l’analyse.