Contributions to phase transition of intermittent skew-product and piecewise monotone dynamics on the circle

Abstract

Sabe-se que toda dinâmica uniformemente espansora ou hiperbólica transitiva não possui transição de fase com respeito aos potenciais Hölder contínuos. Em se tratando de dinâmicas mais gerais, ainda é uma questão em aberto classificar todas as dinâmicas que possuem transição com respeito a uma certa classe de potenciais regulares. Em dimensão 1, de acordo com Bomfim-Carneiro [BC21], todo C1+α-difeomorfismo local no círculo transitivo que não é expansor nem invertível tem uma única transição de fase termodinâmica com respeito ao potencial geométrico, em outras palavras, a função pressão topológica R ∋ t 7→ Ptop(f, −tlog |Df|) é analítica exceto em um ponto t0 ∈ (0, 1]. Eles também provaram transição de fase espectral, ou seja, o operador de transferência Lf,−tlog |Df| agindo no espaço das funções hölder contínuas tem gap espectral para todo t < t0 e não apresenta gap spectral para t ≥ t0. Nosso objetivo é provar resultados similares para duas classes especiais de dinâmicas: endomorfismos de codimensão 1 parcialmente hiperbólicos e dinâmicas monótonas por partes no círculo transitivas. Para endomorfismos em dimensão alta provamos que os resultados de transição de fase termodinâmica e espectral implicam em análise multifractal para o espectro de Lyapunov. Em particular exibimos uma clase de endomorfismos parcialmente hiperbólicos que admitem transição de fase termodinâmica e espectral com relação ao potencial geométrico na direção central, e descrevemos análise multifractal dos expoente de Lyapunov central. Para dinâmicas monótonas por partes no círculo, provamos que o conjunto de potenciais Hölder contínuos que não possuem transição de fase termodinâmica e espectral é denso na topologia uniforme e o conjunto de potenciais Hölder contínuos que têm transição de fase não é denso na topologia uniforme. Também obtemos uma caracterização de transição em termos do operador de transferência e do tipo de convexidade da função pressão topológica. Em particular, descrevemos o comportamento da função pressão topológica e do operador de transferência associado.