Resumen:
Neste trabalho descreveremos os espaços homogêneos Riemannianos de dimensão~ao
três. Enunciaremos o Teorema de Classicacão de Thurston, o qual arma que em dimensão~
ao três existem exatamente oito geometrias, a saber, S3;R3;H3; S2 R;H2 R;Nil3; Sol3
e^PSL2(R): Apresentaremos a diferencial quadrática de Abresch-Rosenberg, que e holomorfa em toda superfície de curvatura média constante, bem como as equações fundamentais para uma imersão~ao isométrica de uma superfície em um espaço homogêneo tridimensional com grupo de isometria de dimensão~ao quatro. Usando estas ferramentas estudamos dois teorema demonstrados por J. Espinar e H. Rosenberg que classificam as superfícies de curvatura média constante cuja curvatura Gaussiana K não muda de sinal em espaços homogêneos de dimensão~ao três com grupo de isometrias de dimensão quatro
