Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo geométrico de equações
evolutivas que descrevem superfícies pseudo-esféricas (equações PEs). Por definição, uma equação PE para funções z = z(x; t) _e equivalente _as equações de estrutura d!1 = !3 ^ !2, d!2 = !1 ^ !3, d!3 =!1 ^ !2 de uma variedade Riemanniana 2-dimensional com curvatura Gaussiana K = 1, com 1-formas !i = fi1 dx+fi2 dt, i = 1; 2; 3, satisfazendo a condições de não-degeneração !1 ^ !2 6= 0 e com fij funções suaves de x, t, z e suas derivadas com respeito a x e t. Usando a noções de representação a curvatura nula (RCN), pode-se dizer que toda equação PE admite uma RCN a valores em sl (2;R).
A primeira contribui¸c˜ao deste trabalho diz respeito a uma classifica¸c˜ao completa e explícita de
equações PEs evolutivas de segunda ordem da forma zt = A(x, t, z)z2 + B(x, t, z, z1), com z = z (x, t) e
zi =
∂
i
z
∂xi
, sob as hip´oteses que fij = fij (x, t, z, z1, z2) e f21 = η. De acordo com a classifica¸c˜ao dada,
estas equações subdividem-se em trˆes classes principais (chamadas de Tipos I-III) juntamente com os
correspondentes sistemas de 1-formas {ω1, ω2, ω3} que, em virtude da hipótese f21 = η, definem para
cada tipo uma fam´ılia a 1-parˆametro de RCNs associadas. Nesta classe de equações PEs encontram-se
em particular algumas equações já conhecidas, dentre as quais as equações integráveis classificadas por
Svinolupov e Sokolov, a equa¸c˜ao de Boltzmann, e equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao como a equa¸c˜ao de Murray.
Ulteriores novos exemplos explicitos s˜ao tamb´em apresentados.
A segunda contribuição ´e relativa ao problema de existência de imersões isométricas locais,
no espaço Euclidiano 3-dimensional E3
, para as fam´ılias de superf´ıcies pseudo-esf´ericas descritas pelas
equa¸c˜oes PEs da classifica¸c˜ao acima. O resultado principal obtido neste caso ´e que estas imers˜oes existem
somente para as equa¸c˜oes do Tipo I, que possuem forma de lei de conserva¸c˜ao, e isso levou `a uma
extens˜ao natural deste resultado ao caso das equa¸c˜oes evolutivas de ordem k da forma Dt (f(x, t, z)) =
Dx (Ω(x, t, z, z1, . . . , zk)). No ˆambito da literatura existente sobre este problema, todos os resultados
obtidos nesta parte do trabalho s˜ao novos; em particular al´em de equa¸c˜oes de segunda ordem, como por
exemplo as equa¸c˜oes de Boltzmann, Murray e as equa¸c˜oes de Svinolupov e Sokolov, entre os exemplos
de equa¸c˜oes PEs que admitem este tipo de imers˜ao isom´etrica h´a tamb´em equa¸c˜oes de ordem superior
como as equa¸c˜oes de Kuramoto-Sivashinsky, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershmidt e inteiras hierarquias
de equa¸c˜oes integr´aveis como as de Burgers, mKdV e KdV.
Finalmente, n´os consideramos o problema de construir fam´ılias a 1-parˆametro n˜ao-triviais de
RCNs para equações PEs. Este problema ´e de interesse especial para as aplicações da teoria das RCNs,
por exemplo no calculo de soluções exatas e hierarquias infinitas de leis de conserva¸c˜ao, e tem sido
resolvido no caso mais geral de RCNs a valores em g, com g uma sub-´álgebra de gl(n, R) ou gl(n, C),
usando a teoria de simetrias clássicas de equacões diferenciais.
