O papel demonstrativo dos diagramas na geometria euclidiana

Abstract

A recente literatura em historiografia e filosofia da prática matemática apresenta um novo cenário sobre o estatuto epistemológico dos diagramas. Resgatam-se aí algumas das principais discussões sobre a maneira como um sujeito pode obter conhecimento através de justificativas diagramáticas. Dentro deste quadro intelectual, apresenta-se nesta investigação uma defesa dum modelo de prova matemática parcialmente baseado em diagramas. Como caso de estudo paradigmático, adota-se aqui os Elementos de Euclides sob a perspectiva metodológica da análise retórica. O principal argumento apresentado pretende demonstrar a seguinte tese: uma correta análise das provas euclidianas deve reconsiderar a prática matemática prescrita pelos Elementos num modelo de justificativa que incorpore não apenas a análise lógica de estruturas dedutivas, como também sua dimensão normativa, dependente, portanto, da audiência. Uma objeção frequente às provas euclidianas decorre da correta observação que o diagrama é uma instância física imperfeita, donde se seguiria que também uma prova diagramática é, de um ponto de vista lógico, imperfeita. É comum entre comentadores e filósofos a alegação de que as provas euclidianas possuem “lacunas” inferenciais, cuja correção deveria ser feita mediante novos axiomas dentro duma concepção formal de prova. Assim, cada passo em uma prova seria autorizado se, e somente se, é uma fórmula bem formada que, ou é um axioma, ou segue-se da aplicação duma regra de inferência. Em réplica, fica demonstrado que a principal deficiência deste argumento reside numa significativa negligência da prática matemática euclidiana. Mais ainda: não oferece uma explicação satisfatória para a estabilidade da teoria engendrada pelos Elementos. Isso é verificado a partir dum estudo mais detalhado acerca do Postulado 2. Através duma aclaração sobre o seu suposto uso não uniforme nos Livros I-VI pode-se constatar que a geometria euclidiana, no tocante às suas provas, é estável e racionalmente controlada. Para além da geometria de Euclides, mostra-se como a análise retórica poderia ser pensada como um método investigativo na filosofia da ciência.

The recent literature on historiography and philosophy of mathematical practice presents a new scenario about the epistemological status of diagrams. Some of the main discussions about the way a subject can obtain knowledge through diagrammatic justifications are rescued. Within this intellectual framework, it is presented here a defense of a mathematical proof model partially based on diagrams. As a paradigmatic case study, Euclid’s Elements are adopted here from the methodological perspective of the rhetorical analysis. The main argument through this text tries to prove the follow thesis: a correct analysis of the Euclidean proofs should reconsider the mathematical practice prescribed by the Elements in a justification model that incorporates not only the logical analysis of deductive structures, but also their normative dimension, therefore, dependent on the audience. A frequent objection to the Euclidean proofs stems from the correct observation that the diagram is an imperfect physical instance, from which it would follow that a diagrammatic proof, from a logical point of view, is also imperfect. It is common among commentators and philosophers the claim that the Euclidean proofs have inferential “gaps”, which should be corrected by new axioms within a formal conception of proof. Thus, each step in a proof would be allowed if, and only if, it is a well-formed formula which is either an axiom or follows from the application of an inference rule. In reply, it is demonstrated that the main deficiency of this argument lies in a significant neglect of Euclidean mathematical practice. Moreover, it does not offer a satisfactory explanation for the stability of the theory engendered by Elements. This is verified from a more detailed study of Postulate 2. Through a clarification on its supposed non-uniform use in Books I-VI it can be seen that Euclidean geometry, in relation to its proofs, is stable and rationally controlled. Beyond the geometry of Euclid, it is shown how rhetorical analysis could be thought of as an investigative method in the philosophy of science.