Os dados sísmicos pré-empilhamento costumam ser espacialmente irregulares por limitações físicas, ambientais ou financeiras. Métodos de interpolação do sinal baseados no posto de matrizes ou tensores têm sido amplamente usados para lidar com estas deficiências de amostragem. Compreender seu funcionamento torna-se fundamental para superar suas limitações. Neste trabalho, descrevemos estes métodos utilizando as semelhanças entre amostragens irregulares e ruídos, em termos de suas representações em autoimagens. Ao considerar a reconstrução dos dados como uma filtragem iterativa, a origem das amostras recuperadas e o papel do posto tornam-se mais claros. Com o intuito de enfatizar a recuperação do sinal ou a redução dos ruídos, ao longo das iterações, exploramos versões não lineares do parâmetro que controla a reinserção das amostras originais. Esses métodos de interpolação assumem que dados completos e livres de ruído podem ser representados como matrizes ou tensores de baixo posto. Portanto, eles requerem uma aproximação de posto reduzido. Como as representações tensoriais capturam a natureza multidimensional dos dados sísmicos, propomos uma decomposição de tensores dependente da orientação espacial, como uma alternativa às estratégias multilineares, que não faz matricizações explícitas, exigindo apenas o cálculo da matriz de covariância. Seus elementos são os produtos internos entre os tensores de ordem inferior ao longo de uma direção espacial conveniente. A decomposição em autovalores dessa matriz de covariância fornece, então, os vetores singulares para a aproximação do tensor de dados. Também exploramos decomposições matriciais denominadas CUR, que usam as próprias colunas e linhas da matriz de dados, ao invés dos vetores singulares. A sobreamostragem de colunas e linhas faz com que o valor exato do posto não seja necessário, o que é uma vantagem significativa. Nós propomos e avaliamos diferentes estratégias de seleção aleatória de colunas e linhas para a obtenção das decomposições CUR. Exemplos numéricos sintéticos são usados para ilustrar o funcionamento desses métodos de interpolação e suas respostas aos diferentes parâmetros. Adicionalmente, exemplos de aplicações em dados sísmicos reais demonstram sua alta robustez.
Prestack seismic data are often spatially irregular due to physical, environmental, or financial issues. Because rank-constrained signal interpolation methods have been largely used to handle sampling deficiencies, understanding their underlying features is critical to overcoming their limitations. We describe low-rank strategies using the similarities between irregular samplings and noise, in terms of their eigenimage representation. By considering data recovery as iterative denoising, we intend to clarify the origin of the retrieved samples and the role of the rank. To emphasize either signal recovery or denoising along with the iterations, we explore non-linear versions of the weighting factor that drives the reinsertion of original samples. Rank-constrained methods assume that noiseless and complete data can be regarded as low-rank matrices or tensors. Thus, they require a reduced-rank approximation. Building on the suggestions that tensorial representations can better capture the multidimensional nature of seismic data, we propose an orientation-dependent tensor decomposition, which represents an alternative to multilinear algebraic schemes. It does not perform explicit matricizations, only requiring the so-called covariance matrix. The elements of such a matrix are the inner products between the lower dimensional tensors along a convenient spatial direction. The eigenvalue decomposition of the covariance matrix provides the singular vectors for the reduced-rank approximation of the data tensor. We also explore the little-known CUR matrix decompositions, which use actual columns and rows of the data matrix, instead of the singular vectors. By allowing oversampling columns and rows, the knowledge of the exact rank is not required, which is a significant advantage. We propose and evaluate different strategies for randomly selecting columns and rows to obtain the CUR. Synthetic numerical examples illustrate the mechanics of these low-rank procedures and their responses to different parameters. Additionally, such approaches applied to field data demonstrate high robustness.
